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BZOJ1087状压DP 解题报告

1087: [SCOI2005]互不侵犯King

Description

  在N×N的棋盘里面放K个国王,使他们互不攻击,共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右,以及左上
左下右上右下八个方向上附近的各一个格子,共8个格子。

Input

  只有一行,包含两个数N,K ( 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N)

Output

  方案数。

Sample Input

3 2

Sample Output

16

状态压缩DP第一道题。作为第一道题。其实对于我这种动态规划都是自学的人来说。难度很大。但是。研读各大神犇的标程和解析后。开始慢慢的明白了一些,所以这里给一句忠告。没什么啃不下来的东西,如果啃不下来,那就多啃一会。

说起动态规划。总是让我想起一系列问题。什么是状态,怎么转移,怎样决策。而这道题,好像没怎么用道决策。但是。什么是状态呢?怎么样在这道题实现转移。这是值得思考的。不思考是没有进步的。

而这道题让我们一眼就可以想到DFS暴力枚举,以每个节点开始。枚举接下来每个点的位置。用二维数组来模拟位置的摆放。DFS递归的其实可以打表出来。而这个方法潜在的状态是上一个点的“位置”。每次枚举的是“位置”。

这道题思考起来。关键:压缩。当发现是这种二维,而且DFS要炸的题。首先考虑压缩。降维?康托-压缩状态?。这里想到的是,以一层为一个状态元素。而我们知道这个状态有很多。因为最多就只有9*9,就9层。每一层有9个格子。那么我们可以提前预处理出来一层里面每一种正确的摆放方式,如果这种方式正确则打上标记。这里国王就只有摆或者不摆,很显然我们可以想到有可以用二进制来表示一层的状态,这样,一层就被我们压缩成一个数。一种可行性方案也被我们压成了一个数。

接下来的就是对于每一层进行递推。我们都已经把每一种情况枚举出来。考虑每两层之间的关系,DP转移就成了枚举两层的可能组合性,之后就是方案数的转移。

这里给出   F[i][q][j]   (一种状态)   其中这里的i代表层数,这里的j代表这一层如果是j这个状态。q代表着一层及其以上的所有放的国王数量。这里的j就指的是放的方式,举个栗子   j==85   那么那一层的方式就是 1010101(2)就是这样der。

枚举每两层方式。F [i] [q+cnt_1[a]]  [a] += F[i-1] [q] [j];这个意思就是,如果上一层的摆放方式为J,这一层的摆放方式为a 那么这一层放q+(a方式的摆放国王的数量)的状态 是由 上一层摆放方式为j 摆放数量为q 的状态转移过来。(其中状态里存的是方案数)

注释:

1,这里作用是判断是否这种状态是不是正确。

2,判断两种状态能不能出线在一起(上下层)

3,这里枚举q,因为每一层结合上一层还有这一层摆放的方式有很多,所以要考虑全面。

最重要的一条

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