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睡前1小时数学系列之-整除

日常数学。

整除。

整除是数学里面最基础的概念。除法嘛。但是。这东西和平时义务教育讲的除法又有些不同。

定义:设a是一个非零的整数。b也是一个整数。如果存在一个整数p,使得 b=a*p;那么我们就称

b可以被a整除“整除”!。记作      a|b   。

所以b叫做a的倍数。a呢,叫做b的约数,也叫做因子。

举栗子。  3|12   21|63   5|15    就是这样。

 

整除。也有很多性质。

1,如果a|b &&  b|c  所以  a| c   有点传递性的味道。

    栗子 :  5|15 && 15| 250  所以  5|250  。

 

2,如果  a|b  && a|c  满足 任意整数x 和 y  有这个 a|(b*x+c*y)

   举个栗子:  3|15  &&  3 |6   之后呢   3|(15*2+6*3)

  计算一下哦,(15*2+6*3)==  48   很有趣  3|48  

 

3,如果 m不等于0 m属于整数, 当a|b 则 (a*m)|(b*m)

 

 这两个是必备的基础。当然还有其它的性质,不过其它的也很简单。

 

4,关于性质有些证明 : 举个栗子:

设 整数x和y 满足下列式: a*x+b*y=1 ,且a|n ,b | n   那么 (a*b)|n

 证明:

  因为  a|n 且b|n      

  根据性质3 :  (a*b)|(n*b)   与   (a*b)|(a*n)

  根据性质4 :(a*b)|(n*b*y+n*a*x)

   then :   (a*b) | n*(b*y+a*x)

   because: a*x+b*y==1;

    so :   (a*b) |  n

 

5,还有好多小学学的什么。

一个整数a

最后一位能被2整除,2|a

最后两位能被4整除,4|a

最后三位能被8整除,8|a

若3能整除a上所有数字之和  ,3|a

若9能整除a上所有数字之和  ,9|a

同时,能被7,11,13,整除的数的特征: 如果a的末三位与末三位之前的差能被7,11,13整除

则 7|a   &&   11|a   &&  13|a  

 

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